有限アスペクト比のテイラー渦流れにおける
モード形成とモード遷移

Transient process of multiple mode in Taylor vortex flow with finite aspect ratio

◯准	古川 裕之 (名大院)	正	渡辺 崇 (名大)
正	中村 育雄 (名大院)

$\parbox{120mm}{ Hiroyuki FURUKAWA, Nagoya University, Furo-cho, Chik... ...oya\\ Takashi WATANABE, Nagoya University\\ Ikuo NAKAMURA, Nagoya University}$

$\parbox{180mm}{ Taylor vortex flows between two concentric rotating ... ...Decelerating Flow, Accelerating Flow, Mode Exchange, Bifurcation} \end{center}}$

]

1.  ま　え　が　き

　両端に固定端面を持ち，内円筒が回転する有限長さ の同心２重円筒内に発達するテイラー渦流れについて は，多くの研究が行われている[1]． 本研究では， テイラー渦の非一意性についての東ら[]，中村ら[]の研究を踏まえ， 内円筒速度を減少させた場合に生ずるテイラー渦流れのモード変化と， 静止流体から内円筒速度を増速させる割合を変化させた場合のモード形成過程に ついて数値的に明らかにすることを目的とする.

2.  計　算　条　件

　内外円筒すきまを代表長 さ，内円筒周速度を代表速度として物理量を無次元化する． 支配基礎方程式は，軸対称非 定常非圧縮のNavier-Stokes方程式，および連続の式で ある． 円筒高さの内外円筒すきまに対する比をアスペクト比 ${\sl\Gamma}$とする. 支配方程式の離散化はMAC法に基づき，格子 分割はスタガード格子である. 壁面における境界条件として，速度にはすべりなし条件を，圧力には 運動方程式に基づくノイマン形条件を与える．初期条件として，全ての領域にわ たり速度成分の値に0を規定する．増速率の違いによるモード形成過程を調べる 場合は，それぞれの増速時間で，レイノルズ数を0からその条件の値まで線形に増加さ せる． それ以外の場合には，計算開始とともにレイノルズ数を0からその条件の値まで ステップ的に上げる．なお，物理的には内円筒半径20mm，外円筒半径30mmの 場合を想定する．

(a) ${\sl\Gamma} = 2.6, Re=500$
 

Table: Acceleration of inner cylinder and final flow mode

T[s]	0.20	0.40	0.60	0.65	0.70	0.75	0.80	1.00
St	0.3333	0.1667	0.1111	0.1026	0.0952	0.0889	0.0833	0.0667
Mode	A3	A3	A3	A3	N2	N2	N2	N2

 
(b) ${\sl\Gamma} = 2.6, Re=550$

T[s]	0.20	0.40	0.60	0.65	0.70	0.75	0.80	1.00
St	0.3030	0.1515	0.1010	0.0932	0.0866	0.0808	0.0758	0.0606
Mode	A3	A3	A3	A3	A3	A3	N2	N2

 
(c) ${\sl\Gamma} = 2.6, Re=600$

T[s]	0.20	0.40	0.60	0.65	0.70	0.75	0.80	1.00
St	0.2778	0.1389	0.0926	0.0855	0.0794	0.0741	0.0694	0.0556
Mode	A3	A3	A3	A3	A3	A3	N2	N2

 

3.  解析結果および考察

3$\cdot$1  モード間の非定常な推移     ある一定のレイノルズ数で十分に発達した流れにおいても，レイノルズ数が変化する と，異なるモードの流れに移ることがある[]． 本計算では ${\sl\Gamma}=0.1〜1.6$の範囲において，レイノルズ数を次第に減 少させることにより，正規２セルモード，変異１セルモードおよびツインセルモー ドの間でのモード変化を確認した．

　モード変化の例として，アスペクト比0.8，レイノルズ数を無次元時間 t₁=3000における1000からt₂=6000における600まで直線的に減少させた場 合の，ツインセルモードから 変異１セルモードへの変化を図１に示す． これ以降の図はすべて同様だが，図の左側が回転する内円筒側で，右側が静止し ている外円筒側である． 無次元時間tが3000の時点では，セルの境界の端が上下端面に到達しているツインセルモー ドである． レイノルズ数が減少し始めると，内円筒側で 付加的な小さな渦が現れる端面とは反対の端面上で，ツインセルの境界が次第に外円 筒側に移動し，やがて，端面から外円筒壁面に移ることで変異１セルモードへと変化 して落ち着く．

  

Figure: Development of flow field from twin-cell mode to anomalous one-cell mode ( ${\it \Gamma}$=0.8,  Re=1000→600,  t₁=3000,  t₂=6000)

3$\cdot$2  内円筒増速率の違いによるモード形成     静止流体からの内円筒速度の増加割合により，形成されるモードが異なる． ${\sl\Gamma}= 2.6$として，最終的なレイノルズ数を500，550，600とした場合 に，内円筒増速割合に対して生成されるモードを表1に示す． 図中，Tは有次元の増速時間であり，無次元増速パラメータStは，最終的な 内円筒角速度 ${\sl\omega}$に対して， $1/T{\sl\omega}$として与える． また，A3は変異３セルモード，N2は正規２セルモードを示す．

　表１(a)のRe = 500では，St=0.1026までは二次モードで ある変異３セルモードが現れる． そして， St=0.1026と0.0952の間でモードが変化し，St=0.0952以降は主モード である正規２セルモードが現れる． 表１(b)，(c)のRe = 550， 600の場 合では，モード境界点が St=0.0808と 0.0758， St=0.0741と0.0694の間にあり，高レイノルズ数ほど変異モードが ゆっくりとした増速の場合にも現れる傾向にある．

　同様な計算を， ${\sl\Gamma}= 4.0$として，Re=500，650，700，800，1000 のそれぞれのレイノルズ数でも行っ た．しかし ${\sl\Gamma}= 4.0$の場合は， ${\sl\Gamma}= 2.6$の場合のよう に増速割合と形成されるモードの関係が明確には現れなかった．

  

Figure: Flow development from rest to anomalous six-cell mode $({\it \Gamma}$=5.0, Re=400, t_ac=4.8, St=0.42)

　東ら[]は，正規２セル，正規４セル，変異４セルモードの発生機構を 明らかにしているが，本節では，正規６セルモード，変異６セルモード の発生機構について述べる．

　 ${\sl\Gamma}=5.0$，Re=400で，St=0.42，0.21のそれぞれの場合に 形成される変異６セルモード，正規６セルモードの形成過程を図２，３ に示す． 静止流体からレイノルズ数を線形に増加させる 無次元増速時間t_acはそれぞれ4.8， 9.6である．

　図２では，t=12の時点で内円筒と上下端面の 角で小さな渦が発生する．内円筒の増速はこの時点ですでに終了しており， 流れはRe=400で一定である．この角の渦は半径方向に広がり， t=25.2の時点では，これらの渦の軸方向内側に新たな渦が形成される一方で， 軸方向中央断面付近に，２つのセルが発生する． やがて，軸方向全体に渡ってセルが形成され，t=36の時点では 軸方向に10個のセルが形成されている．しかしこの流れは安定せず， 上下端面に接しているセルの勢力が弱くなり，隣り合うセルに押し潰されて， t=72の時点では，変異８セルモードへと移行している．しばらくはこのまま 安定するが，t=492の時点で，軸方向中央断面よりすこし上側にあり，境界で 外側から内側への流れをもつペアのセルが消滅し，隣り合うセルに押し潰される ことにより，流れは変異６セルモードへと移行する．

　図３では，内円筒と上下端面の 角で小さな渦が発生し，やがて軸方向全体に渡って10個のセルが形成され るまでは，図２と同様である． しかし，図２では上下端面で変異セルが発生したのに対し， 図３では上下端面に接するセルの軸方向内側のセルが，その 上下のセルに挟まれるようにして弱まる．この弱まるセルの上下のセル は同じ方向に回転しているので境界を接することができず，弱まるセルの軸方 向内側に隣接するセルが減衰し，流れは正規６セルモード へと移行する．

  

Figure: Flow development from rest to normal six-cell mode $({\it \Gamma}$=5.0, Re=400, t_ac=9.6, St=0.21)

４．　結　　論

　両端に固定端面を持ち，内円筒が回転する有限長さ の同心２重円筒内に発達するテイラー渦流れを数値的に解析し， 以下の結論を得た．

(1) アスペクト比が１のオーダの場合で，内円筒速度を減少させることにより， モード間での分岐を予測し，その発生機構を明らかにした．

(2)内円筒増速割合，およびレイノルズ数が形成されるモードに及ぼす影響の傾 向を示した．

(3) 増速割合の違いによる，モードの発生機構の差異を示した．

文    献